la regla de l´hôpital permite resolver muchos casos de indeterminación de límites de funciones en un punto x = a. en principio la vamos a enunciar así:
un límite indeterminado de la forma:
lho0.gif (301 bytes)
valdrá l, en caso de que también sea l el límite en x=a del cociente de las derivadas de numerador y denominador, es decir:
lho1.gif (571 bytes)
de esta manera podemos resolver indeterminaciones del tipo 0/0. veamos un ejemplo.
ejemplo 1: hallar el límite:
lho2.gif (232 bytes)
este límite tiene la forma indeterminada 0/0, por tanto, podemos aplicar la regla de l'hôpital:
lho3.gif (674 bytes)
límite que sigue teniendo la forma indeterminada 0/0, pero a la cual se puede volver a aplicar la regla de l'hôpital:
lho4.gif (256 bytes)
que es en definitiva el valor del límite.
pero la regla de l'hôpital es mucho más general, pues es aplicable no sólo a la indeterminación 0/0, sino también a las indeterminaciones: infinito.gif (65 bytes)/ infinito.gif (65 bytes), 0×infinito.gif (65 bytes), infinito.gif (65 bytes)-infinito.gif (65 bytes).
por ejemplo, una indeterminación del tipo infinito.gif (65 bytes)/infinito.gif (65 bytes), provendrá de un límite de la forma:
lho7.gif (309 bytes)
en donde las dos funciones f(x) y g(x) tiendan a infinito en x=a, y este límite obviamente no varía si lo expresamos en la forma:
lho8.gif (422 bytes)
y ahora sí tiene la forma 0/0. en definitiva, la indeterminación infinito.gif (65 bytes)/infinito.gif (65 bytes) no es diferente de la 0/0.
ejemplo 2: hallar el límite:
lho5.gif (224 bytes)
este límite en principio toma la forma indeterminada infinito.gif (65 bytes)/infinito.gif (65 bytes), y lo resolvemos aplicando directamente la regla de l'hôpital:
lho6.gif (491 bytes)
observación: no es necesario pasar el límite a la indeterminación 0/0 ántes de aplicar la regla de l'hôpital. si bien (f '/g') es distinto de (1/g)'/(1/f '), en cambio no son diferentes para nuestro caso de límites en el punto x=a.
en cuanto a las indeterminaciones del tipo 0×infinito.gif (65 bytes), aparecen en límites de productos de funciones f(x)×g(x) cuando una de ellas, p.ej. la f(x) tiende a 0, y la otra, la g(x), tiende a infinito.gif (65 bytes). en este caso nosotros expresaremos el límite en la forma:
lho9.gif (459 bytes)
y como 1/g(x) tenderá a 0, se obtiene la forma típica 0/0, a la cual se puede aplicar directamente la regla de l'hôpital.
ejemplo 3: hallar el límite:
lhoa.gif (275 bytes)
este límite tiene la forma 0×infinito.gif (65 bytes), por lo tanto, operamos como hemos dicho:
lhob.gif (753 bytes)
habiendo expresado la inversa de la tangente como la cotangente, cuya derivada es: - 1/(seno)², esto es:
lhoc.gif (639 bytes)
otro tipo de indeterminación susceptible de realizarse por la regla de l'hôpital es la forma infinito.gif (65 bytes)-infinito.gif (65 bytes), que aparece en límites de una resta, es decir, cuando tenemos: f(x) - g(x), y ambas funciones en x=a se hacen +infinito.gif (65 bytes). para este caso hay que tener en cuenta la siguiente identidad:
lhod.gif (322 bytes)
y si en en x=a las funciones f y g son infinito, la expresión con sus inversas será 0, por lo que f-g equivaldrá a 0/0; no obstante para aplicar la regla de l'hôpital, en este caso deberemos transformar f-g como una expresión que incluya un cociente, tal como en el ejemplo siguiente:
ejemplo 4: hallar el límite:
lhoe.gif (385 bytes)
este límite tiene la forma infinito.gif (65 bytes)-infinito.gif (65 bytes), y ántes de aplicar la regla de l'hôpital debemos ponerlo en forma de cociente:
lhof.gif (571 bytes)
así expresado el cociente tiene la forma 0/0, y se puede aplicar esta regla:
lhog.gif (559 bytes)
finalmente, vamos a ver unos ejemplos en los que la regla de l'hôpital ha de aplicarse sobre el exponente. se trata de indeterminaciones del tipo: 0°, infinito.gif (65 bytes)°, unoinf.gif (66 bytes), que proceden de límites de una función f(x) elevada a otra función g(x), para su resolución es conveniente tener en cuenta la siguiente identidad:
identie.gif (118 bytes)
teniendo en cuenta esta identidad, la cual suele escribirse por comodidad: a = exp(log a), podemos poner:
identif.gif (395 bytes)
y ahora si estamos hallando un límite en x=a de esa función exponencial, nosotros calcularemos el límite en el exponente, es decir, dentro del paréntesis de "exp", en concreto el límite de (g×log f), el cual puede ser, por ejemplo, de la forma 0×infinito.gif (65 bytes), cuya forma de resolverse es la del ejemplo 3.
ejemplo 5: hallar el límite:
lhoh.gif (145 bytes)
este límite tiene la forma indeterminada 0°, y tal como hemos dicho, puede expresarse:
lhoi.gif (424 bytes)
